Twierdzenie Talesa zadania – przykłady z rozwiązaniami

Do rozwiązywania zadań z geometrii zwykle wystarczy jedno zdanie: jeśli ramiona kąta przetniesz prostymi równoległymi, to odpowiednie odcinki tworzą proporcje. Z tej prostej własności wynika większość szkolnych zadań z podobieństwa, trójkątów i trapezów. Warto więc opanować twierdzenie Talesa na poziomie „automatu” i zobaczyć je na wielu przykładach. Zapraszam Cię do krótkiego przeglądu najczęstszych typów zadań wraz z gotowymi rozwiązaniami.

Na czym polega twierdzenie Talesa?

Twierdzenie Talesa opisuje sytuację, gdy dany kąt ma ramiona przecięte przez co najmniej jedną prostą równoległą do innej prostej. Na każdym ramieniu kąta powstają wtedy odcinki, których długości są do siebie w takich samych stosunkach. Jeśli na jednym ramieniu powstaną odcinki o długościach x i a, a na drugim odpowiednio y i b, to podstawowa postać zapisu brzmi: x / y = a / b.

Ta jedna proporcja – oznaczona tu jako proporcja x_y_a_b – wystarcza, by wyprowadzić wiele innych równań. Możesz porównywać sumy odcinków na ramionach, np. x / y = (x + a) / (y + b) albo a / b = (x + a) / (y + b), a także zmieniać kolejność, pisząc x / a = y / b. Każda taka postać wciąż opisuje tę samą własność: stosunki odpowiednich odcinków są równe, gdy przecinają je proste równoległe.

Gdy ramiona kąta przecinają dwie lub więcej prostych równoległych, każdy „pas” wycięty między nimi jest podobny do pozostałych – dlatego pojawiają się te same proporcje długości.

Często w zadaniach pojawiają się też odcinki łączące ramiona kąta, oznaczane jako c i d. Wtedy korzysta się z równań typu x / c = (x + a) / d lub c / d = x / (x + a). To wciąż zastosowanie tego samego twierdzenia, tylko do trójkątów powstających wewnątrz kąta.

Jak rozwiązywać proste zadania z twierdzeniem Talesa?

Większość szkolnych przykładów sprowadza się do jednej rzeczy: ułożenia odpowiedniej proporcji i wyliczenia nieznanej długości. W typowych zadaniach mamy jedną niewiadomą, np. odcinek x, i kilka znanych liczb ustawionych w równaniu proporcji.

Przykład 1 – prosta proporcja z jedną niewiadomą

Załóżmy, że na jednym ramieniu kąta odcinki mają długości 12 i 15, a na drugim – odpowiednio x i 10. Zgodnie z twierdzeniem Talesa stosunki odpowiadających sobie odcinków są równe, więc mamy proporcję 12/15 = x/10. Ta proporcja pojawia się często jako prosty trening rachunków.

Aby obliczyć x, mnożysz na krzyż:

12 · 10 = 15 · x,
czyli 120 = 15x, z czego otrzymujesz x = 8. Liczba 8 to gotowa długość odcinka, który leży na drugim ramieniu kąta i „odpowiada” odcinkowi o długości 12 na pierwszym ramieniu.

Przykład 2 – proporcje z liczbami dziesiętnymi

W innym zadaniu pojawia się proporcja 4,2 / 7,7 = x / 9,9. Liczby 4,2, 7,7 oraz 9,9 mogą pochodzić z sumy dwóch odcinków (tu: 7,7 + 2,2 = 9,9), ale metoda jest taka sama. Po przemnożeniu na krzyż masz równanie 4,2 · 9,9 = 7,7 · x, skąd wynika 41,58 = 7,7x i ostatecznie x = 5,4.

Warto ćwiczyć zarówno „ładne” liczby całkowite, jak i ułamki dziesiętne. Z punktu widzenia geometrii nic się nie zmienia – zawsze używasz tego samego schematu: proporcja → mnożenie na krzyż → dzielenie.

Przykład 3 – ciąg kilku odcinków na jednym ramieniu

Ciekawie wyglądają zadania, w których masz kilka odcinków na jednym ramieniu – jak w typowym poleceniu „oblicz długość odcinków AB, CD i EF”, gdy kilka prostych równoległych przecina ramiona kąta. Jeśli z rysunku wynika, że wszystkie te „pasy” mają ten sam stosunek, możesz krok po kroku wyliczyć |AB|, |CD| i |EF|.

Załóżmy, że z zastosowania twierdzenia Talesa dostajesz kolejno wyniki |AB| = 12, |CD| = 6 i |EF| = 8. Te wartości – 12, 6 i 8 – wynikają z kolejnych proporcji między odpowiednimi odcinkami na obu ramionach kąta, zawsze w układzie „odpowiadający do odpowiadającego”.

Jak użyć twierdzenia Talesa w trójkątach?

Najczęściej spotkasz twierdzenie Talesa w trójkątach, bo tam łatwo poprowadzić odcinek równoległy do jednego z boków. Każdy taki odcinek „odcina” mniejszy trójkąt podobny do całego, a podobieństwo natychmiast przekłada się na proporcje boków.

Trójkąt ABC i odcinek równoległy do boku

Dobry schemat daje trójkąt ABC, w którym wybierasz punkt D na boku AB i prowadzisz przez niego prostą równoległą do boku BC. Przecina ona bok AC w punkcie E. Ramiona kąta CAB – czyli CA i AB – są tu przecięte prostymi równoległymi (DE ∥ BC), więc możesz bezpośrednio zastosować twierdzenie.

Załóżmy, że |AD| = 6 cm, |BD| = 0,8 dm (czyli 8 cm), a cały bok |AC| = 280 mm (czyli 28 cm). Suma AD + DB daje bok AB = 14 cm. Proporcja długości na ramionach kąta CAB prowadzi do równania |AE| / |AC| = |AD| / |AB|, czyli |AE| / 28 = 6 / 14. Po przekształceniu otrzymujesz |AE| = 12 cm.

W trójkątach z odcinkiem równoległym do boku najlepiej od razu szukać kąta, którego ramiona są przecinane, a dopiero potem układać proporcję między bokami całego trójkąta i „odciętego” fragmentu.

Trójkąt prostokątny i trapez wewnątrz

Inny typ zadania wykorzystuje trójkąt prostokątny: przyprostokątne mają długości AC = 20 cm i AB = 16 cmKL jest równoległy do AB, przecina bok AC w punkcie K oraz bok BC w punkcie L, a jego długość wynosi 12 cm. Wtedy figura ABLK jest trapezem, którego pole trzeba policzyć.

Dzięki odcinkowi KL otrzymujesz mniejszy trójkąt podobny do całego trójkąta prostokątnego. Skala podobieństwa między tymi trójkątami wynika z proporcji długości KL i boku AB, a pole trapezu ABLK okazuje się równe 70 cm². Cały rachunek opiera się na tym, że stosunek odpowiednich boków podobnych trójkątów jest stały – właśnie to zapewnia twierdzenie Talesa.

Trójkąt równoramienny z ramionami w danym stosunku

W trójkącie równoramiennym często spotkasz zadanie, w którym odcinek równoległy do podstawy dzieli ramiona w zadanym stosunku, np. 2 : 3. Jeśli ramiona są podzielone w takim samym stosunku (licząc od wierzchołka), możesz wprowadzić oznaczenie, że krótsze części ramion mają długość 2k, a dłuższe 3k. Wtedy szukany odcinek wewnątrz trójkąta jest proporcjonalny do podstawy z dokładnie takim współczynnikiem skali.

Takie zadanie rozwiązuje się, korzystając z proporcji wynikającej z Talesa między całym ramieniem a jego częścią. To naturalny przykład, gdzie geometryczny opis („podział ramion w stosunku 2 : 3”) zamienia się bezpośrednio na proporcje długości.

Jak działa twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa?

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa mówi odwrotną rzecz: jeśli na ramionach tego samego kąta długości odpowiednich odcinków są do siebie proporcjonalne, to przecinające je proste muszą być równoległe. Innymi słowy – jeśli wykażesz, że zachodzi proporcja „w stylu Talesa”, to automatycznie dostajesz informację o równoległości.

Załóżmy, że proste k i m przecinają prostą a oraz tworzą odpowiednie odcinki o długościach 3 i 6 na jednym ramieniu, a na drugim – odpowiednio sumy 3 + 3 + 3 = 9 oraz 6 + 4 + 8 = 18. Jeśli sprawdzisz proporcję:

3 / 6 = 9 / 18,
to dostaniesz 1 / 2 = 1 / 2. Równość L = P oznacza tutaj, że proste k i m muszą być do siebie równoległe, bo długości odpowiadających odcinków „zachowują” ten sam stosunek.

Inaczej wygląda porównanie prostych k i l. Jeśli na jednym ramieniu masz nadal 3 i 6, a na drugim odcinki 3 + 3 = 6 i 6 + 4 = 10, to proporcja:

3 / 6 = 6 / 10
prowadzi do równości 1 / 2 = 2 / 5, czyli tu już L ≠ P. Brak równości pokazuje, że proste k i l nie są równoległe, mimo że przecinają tę samą prostą a.

Jeśli twierdzenie Talesa służy do liczenia długości, to twierdzenie odwrotne – do dowodzenia równoległości prostych przez zwykłe sprawdzenie proporcji.

Jakie typy zadań jeszcze wykorzystują twierdzenie Talesa?

Od prostych przykładów z jednym odcinkiem x do rozbudowanych zadań tekstowych wszystkie opierają się na tych samych proporcjach. W arkuszach pojawiają się zarówno zadania zamknięte (z odpowiedziami A, B, C, D), jak i otwarte, gdzie trzeba podać długość, pole albo uzasadnić jakiś fakt geometryczny.

Trapez z przedłużeniem boków

W trapezie ABCD z równoległymi podstawami AB ∥ CD możesz przedłużyć boki AD i BC aż do punktu O. Gdy znasz długości ramion, np. |AD| = 28 cm i |BC| = 32 cm, a wiesz, że OD jest krótszy od OC o 2 cm, pojawia się klasyczne polecenie: oblicz długość OD. Z twierdzenia Talesa i proporcji między AD i BC dostajesz w końcu wynik OD = 14 cm.

W tym typie zadań ważne jest zauważenie, że przedłużone ramiona trapezu z podstawami równoległymi tworzą dwa podobne trójkąty. Różnica 2 cm między OC i OD tylko doprecyzowuje skalę podobieństwa, a całą pracę „robi” tu Tales.

Odcinki w trapezach i podział podstaw

Dość często pojawia się też konstrukcja, w której w trapezie środkowe punkty ramion łączysz odcinkiem równoległym do podstaw. To prowadzi do zadań pokazujących, że taka „środkowa” prosta dzieli pozostałe odcinki w pewnych stałych stosunkach. Te stosunki znów wynikają z podobieństwa trójkątów – a więc pośrednio z twierdzenia Talesa o odcinkach wyznaczonych przez proste równoległe.

Odcinki i promienie okręgów w kącie

Ciekawsza, choć nadal oparta na tym samym pomyśle, jest sytuacja dwóch okręgów stycznych zewnętrznie, wpisanych w ten sam kąt. Jeśli promień mniejszego ma długość 2, a większego 5, to pytanie o długość odcinka łączącego wierzchołek kąta ze środkiem mniejszego okręgu również sprowadza się do porównania podobnych trójkątów. Promienie 2 i 5 oraz styczność z ramionami kąta wyznaczają skalę, a reszta to już zwykłe liczenie proporcji.

Takich konfiguracji – z odcinkami, trójkątami i trapezami – w szkolnych zadaniach jest sporo. Za każdym razem, gdy widzisz kilka prostych równoległych i odcinki na ramionach kąta, możesz zakładać, że w tle działa właśnie twierdzenie Talesa lub jego odwrotność i szukać wykorzystania jednej z proporcji: x / y = a / b, x / y = (x + a) / (y + b) albo ich prostych przekształceń.